در ریاضیات، مطالعه رفتار توابع یکی از مباحث مهم و کاربردی در تحلیل و بررسی نمودارها بشمار می‌‌رود. یکی از ویژگی‌های اساسی هر تابع، صعودی یا نزولی بودن آن است؛ یعنی اینکه مقدار تابع با افزایش ورودی‌ها چگونه تغییر می‌کند. شناخت تابع صعودی و نزولی به شما کمک می‌کند تا رفتار کلی تابع را بهتر درک کنید، نقاط بحرانی را بشناسید و در مسائل مختلف علمی و مهندسی از آن بهره ببرید.

به چه تابعی صعودی و به چه توابعی نزولی می گوییم؟

تابع صعودی به تابعی گفته می‌شود که هرگاه مقدار ورودی آن بیشتر شود، مقدار خروجی نیز روند افزایشی داشته باشد. به بیان دیگر، با حرکت از چپ به راست روی محور x، مقدار تابع بزرگ‌تر می‌شود.‌

در مقابل، تابع نزولی تابعی است که با افزایش مقدار ورودی، مقدار خروجی آن کاهش پیدا می‌کند؛ یعنی هرچه x بیشتر شود، y کمتر خواهد شد.

روش‌های محاسبه توابع نزولی و صعودی

ر‌وش‌های تشخیص و محاسبه انواع توابع نزولی و صعودی به‌صورت زیر است:

تابع صعودی

اگر تابع (y=f(x در Df ⊇A به سمت بالا و راست حرکت کند یا آنکه ثابت بماند، تابع صعودی است.

به‌طور مثال، تابع را در A صعودی می‌گوییم اگر به ازای هر A ∈ b وa داشته باشیم:

لازم به ذکر است که جهت تغییرات تابع و متغیر نیز باید دقیقا مانند یکدیگر باشند.

تابع نزولی

اگر نمودار تابع رو به پایین حرکت می کند تابع نزولی است. در این توابع، اگر x افزایش پیدا کند مقدار y کاهشی می‌شود یا ثابت می‌ماند.

تابع اکید صعودی

نمودار تابع اکید صعودی به‌گونه‌ای است که به سمت راست و بالا حرکت می‌کنند.

تابع اکید نزولی

تابع اکید نزولی به توابعی می‌گویند که نمودار آن‌ها به سمت راست و رو به پایین حرکت می‌کند.

𝐚 < b  ⟹ 𝐟(𝐚) > 𝐟(𝐛)

تابع غیریکنوا

توابع صعودی و نزولی را یکنوا می‌گوییم و تابع اکید صعودی و نزولی را اکیدا یکنوا می‌گوییم.

به‌طور‌مثال، تابع غیر یکنوا در بازه ( 0 , ∞−) اکیداً نزولی و در بازه (∞+ , 0) نیز اکیداً صعودی است. 

تعیین صعودی و نزولی بودن تابع با استفاده از مشتق

در صورتی که بخواهیم صعودی یا نزولی بودن یک تابع را با استفاده از مشتق بیابیم، ابتدا باید مشتق پذیر بودن تابع در بازه مشخصه را بررسی کنیم. پس از این موضوع در موارد زیر تابع نزولی یا صعودی مشخص می‌شود:

• در صورتیکه f′(x)<0 باشد، آنگاه f در بازه مشخص شده اکیداً نزولی است.
• در صورتیکه f′(x)>0 باشد، آنگاه f در بازه مشخص شده اکیداً صعودی است.
• اگر f′(x)=0 باشد، تابع f در بازه مشخص ثابت است.
• اگر f′(x) ≤0 باشد آنگاه تابع در بازه خود نزولی است.
• در صورتیکه f′(x) ≥0 باشد در این صورت تابع در بازه خود صعودی است.

در واقع اگر شیب نقطه‌ای از نمودار مثبت باشد، تابع در آن نقطه صعودی است و اگر منفی باشد، تابع در آن نقطه نزولی است.

بیشتر بخوانید: محاسبه سریع لگاریتم

قوانین مهمی که برای پیدا کردن توابع صعودی و نزولی باید به آن ها دقت کنید:

مهم‌ترین‌ نکاتی که برای پیدا کردن توابع صعودی و نزولی باید به آن دقت کنید عبارتند از:

• برای مشخص کردن تابع صعودی و نزولی باید ابتدا دامنه تابع را مشخص کنید و در بازه مشخص شده این مورد را بررسی کنید.
• اگر دامنه تابع محدود است، رفتار تابع باید در محدوده خاص خود بررسی شود.
• در صورتیکه از روش مشتق‌گیری استفاده می‌کنید. مشتق باید در دامنه تابع وجود داشته باشد.
• به تابع‌های کسری دقت داشته باشید چرا که معمولاً مخرج مشکل ایجاد کند.
• در توابع لگاریتمی و رادیکالی قبل از مشتق‌گیری شرایط دامنه را بررسی کنید.
• در صورتیکه تابع چند تکه‌ای بود، هر قسمت را جداگانه بررسی کرده و به نقط اتصال توجه ویژه‌ای داشته باشید.
• اگر مشتق تابع در نقطه‌ای صفر شود به معنی صعودی یا نزولی بودن آن نیست، باید تغییر علامت مشتق را بررسی کنید.