محاسبه اکسترمم مطلق تابع به ما امکان می‌دهد قاطعانه بگوییم که تابع در کدام نقطه به بالاترین حد صعود (بیشینه مطلق) و در کدام نقطه به پایین‌ترین حد نزول (کمینه مطلق) خود می‌رسد.

اکسترمم مطلق چیست؟

اکسترمم مطلق تابع، نقطه‌ای از دامنه تابع است که بالاترین یا پایین‌ترین مقدار ممکن را در تمام طول تابع داشته باشد.

به عبارت دیگر، مقدار تابع در این نقطه از تمام نقاط دیگر دامنه، بالاتر (برای ماکزیمم) یا پایین‌تر (برای مینیمم) است.

برای آشنایی بیشتر با این مفهوم به شکل زیر توجه کنید. در این تصویر، نقطه x2 ماکزیمم مطلق را نشان می‌دهد

تفاوت اکسترمم مطلق و نسبی تابع

تفاوت اصلی این است که اکسترمم نسبی تنها وضعیت یک نقطه را نسبت به نقاط اطراف آن بررسی می‌کند؛ بنابراین ممکن است یک نقطه در ناحیه‌ای کوچک، بیشترین یا کمترین مقدار را داشته باشد.

در مقابل، اکسترمم مطلق توابع به کل دامنه تابع توجه دارد و مشخص می‌کند که آیا آن نقطه در میان تمام نقاط تعریف‌شده تابع، بزرگ‌ترین یا کوچک‌ترین مقدار را اختیار کرده است یا خیر.

نحوه محاسبه اکسترمم مطلق تابع

برای تعیین بیشترین و کمترین مقدار یک تابع در یک بازه مشخص باید مراحل زیر را انجام دهید.

1-    بررسی پیوستگی تابع

ابتدا باید مطمئن شوید که تابع در بازه مورد نظر پیوسته است. وجود پیوستگی در بازه، شرط مهمی برای بررسی اکسترمم‌های مطلق بشمار می‌رود.

2-    پیدا کردن نقاط بحرانی

در گام بعد، نقاطی را که ممکن است محل وقوع بیشینه یا کمینه باشند، مشخص می‌کنیم. این نقاط همان نقاط بحرانی تابع هستند؛ یعنی جاهایی که مشتق گیری تابع صفر می‌شود یا وجود ندارد.

تنها نقاطی که داخل بازه مورد بررسی قرار دارند اهمیت دارند و نقاط خارج از بازه در پاسخ نهایی تاثیری نخواهند داشت.

3-    محاسبه مقدار تابع در نقاط مهم

پس از مشخص شدن نقاط بحرانی، مقدار تابع را در هر یک از آن‌ها بدست می‌آوریم. علاوه‌بر این، باید مقدار تابع را در ابتدا و انتهای بازه نیز محاسبه کنیم؛ زیرا ممکن است بزرگ‌ترین یا کوچک‌ترین مقدار تابع در یکی از این دو نقطه قرار داشته باشد.

4-    مقایسه مقادیر به‌دست‌آمده

در آخر تمام مقادیر محاسبه‌شده را با هم مقایسه می‌کنیم. بزرگ‌ترین مقدار، ماکزیمم مطلق و کوچک‌ترین مقدار، مینیمم مطلق تابع در آن بازه خواهد بود.

در واقع این موارد نشان می‌دهند که تابع در کل بازه مورد نظر، بیشترین و کمترین مقدار خود را در چه نقاطی بدست آورده است.

بیشتر بخوانید: آموزش محاسبه مشتق

هنگام اکسترمم گیری تابع به چه مواردی باید دقت کنید:

اگر می‌خواهید اکسترمم یک تابع را به‌درستی پیدا کنید، لازم است به چند نکته مهم توجه داشته باشید:

• دامنه تابع را مشخص کنید؛ بعضی نقاط ممکن است خارج از دامنه باشند و نباید در بررسی اکسترمم در نظر گرفته شوند.
• نقاط بحرانی را به‌دقت پیدا کنید؛ این نقاط جایی هستند که مشتق اول تابع برابر صفر می‌شود یا مشتق وجود ندارد. فراموش کردن هر یک از این حالت‌ها می‌تواند باعث از دست رفتن یک اکسترمم شود.
• فقط صفر شدن مشتق به معنی وجود اکسترمم نیست؛ ممکن است در نقطه‌ای مشتق صفر باشد، اما تابع بیشینه و کمینه نداشته باشد. بنابراین باید با استفاده از تغییر علامت مشتق اول یا مشتق دوم، نوع نقطه را بررسی کرد.
• در بازه‌های بسته، نقاط ابتدا و انتهای بازه را نیز بررسی کنید؛ گاهی اکسترمم مطلق تابع در یکی از دو سر بازه قرار دارد.