محاسبه مشتق مبحثی کلیدی در حسابان است که پایه بسیاری از تحلیلهای پیشرفته در ریاضی و علوم کاربردی بهشمار میرود.
آشنایی با این مفهوم درک دقیقتری از نمودارها، شیبها و تغییرات لحظهای در اختیارتان قرار میدهد و راه را برای حل مسائل پیچیده آسانتر میکند.
همچنین تسلط بر فرمولها و روشهای مشتق گیری سریع باعث میشود بتوانید سوالات این مبحث را در کنکور با سرعت و اطمینان بیشتری حل کنید.
مشتق چیست؟
مشتق یعنی نرخ تغییر یک تابع در یک نقطه چقدر است. اگر بخواهم سادهتر بگویم، مشتق به ما نشان میدهد که یک مقدار با چه سرعتی در حال تغییر است.
وقتی فقط مقدار یک کمیت برای ما مهم نیست و میخواهیم بدانیم روند تغییر آن چگونه است، از مشتق گیری استفاده میکنیم.
بهعنوان مثال، فرض کنید مقدار آب داخل یک مخزن در طول زمان در حال کم شدن است. اگر نموداری داشته باشیم که مقدار آب باقیمانده در یک مخزن را بر حسب زمان نشان دهد، این نمودار بیانگر تغییر حجم آب در طول زمان است.
در چنین حالتی، شیب نمودار در هر لحظه مشخص میکند که مقدار آب با چه سرعتی در حال کاهش است. هرچه شیب نمودار در آن نقطه تندتر و منفیتر باشد، کاهش آب سریعتر رخ میدهد و هرچه ملایمتر باشد، سرعت کاهش کمتر است. این «سرعت تغییر لحظهای» همان چیزی است که در ریاضیات مشتق نام دارد.
قواعد مشتق گیری
برای بعضی از توابع، نتیجه محاسبه حد از قبل مشخص شده است و لازم نیست هر بار از ابتدا آن را بهدست آورید.
با شناخت الگوی این توابع میتوانید به مجموعهای از روابط و فرمولهای کاربردی رسید که محاسبه مشتق را ساده و سریعتر میکنند و برای تست زنی حسابان کنکور بسیار کاربردی هستند.
در جدول زیر مهمترین قواعدی را آوردهام که کمک میکنند مسائل مشتق را راحتتر حل کنید.
قوانین مهم مشتقگیری
با استفاده از ۵ قانون زیر میتوانید مشتق گیری سریع تعداد زیادی از توابع را بهدست آورید.
۱. قانون تابع ثابت
همچنین برای توابع با توان ثابت از قانون زیر استفاده کنید.
۲. قانون ضرب تابع در عدد ثابت
۳. قانون جمع دو تابع
۴. قانون ضرب دو تابع
۵. قانون تقسیم دو تابع
بیشتر بخوانید: روش انتگرال گیری
انواع روشهای محاسبه مشتقگیری
اگر میخواهید مهارت خود را در محاسبه مشتق تقویت کنید، باید به روشهایی که در ادامه میگویم مسلط شوید.
مشتق جملات چند جملهای
مشتق یک عبارت چند جملهای یعنی اینکه هر جمله آن را جداگانه بررسی کنیم و ببینیم با تغییر x هر کدام با چه سرعتی تغییر میکنند. قانون مشتق چند جملهای عبارت است از:
در مثال زیر باید جملات را جداگانه مشتق بگیریم و در آخر آنها را جمع کنیم.
مشتق توابع نمایی و لگاریتمی
قانون مشتق گیری توابع نمایی بهصورت زیر است:
با مشاهده مثال زیر، راحتتر میتوانید این نوع محاسبه مشتق را درک کنید.
مشتق توابع لگاریتمی
برای داوطلبان کنکور ریاضی یادگیری محاسبه لگاریتم، حتی مشتق آن بسیار مهم است. اگر قانون مشتق توابع لگاریتمی را بهدرستی درک کنید، حل این نوع مسائل بسیار سادهتر از چیزی خواهد بود که فکر میکنید.
در ادامه میتوانید مثال مشتق توابع لگاریتمی را مشاهده کنید.
قانون زنجیرهای
وقتی یک تابع در دل تابع دیگر قرار گرفته باشد، برای مشتق گیری سریع و ساده آن از قانون زنجیرهای استفاده میکنیم که فرمول آن بهصورت زیر است:
مثال:
قانون حاصل ضرب
فرمول زیر برای توابع ضربی به کار میرود:
مثال:
قانون تقسیم
برای محاسبه مشتق توابعی که در آنها از تقسیم استفاده شده است، باید از فرمول زیر کمک بگیرید:
مثال:
مهمترین فرمولهای مشتق گیری
برخی از فرمولهای مشتق گیری ساده را که در حل سوالات کنکور به شما کمک میکنند، در ادامه توضیح خواهم داد.
مشتقگیری از توابع چند جملهای
یکی از پرکاربردترین روشها برای مشتقگیری، قاعده توان برای چند جملهایها است. وقتی تابعی چند جملهای داریم، میتوانیم هر جمله را جداگانه مشتق بگیریم.
روش کار ساده است، توان هر جمله را به ضریب آن منتقل میکنیم و سپس یک واحد از توان کم میکنیم.
در ادامه میتوانید قوانین توابع چند جملهای را مشاهده کنید.
فرمولهای توابع نمایی و لگاریتمی
پرکاربردترین فرمولهای توابع نمایی و لگاریتمی در ادامه بیان شده است.
فرمولهای مهم توابع مثلثاتی
مهمترین فرمولهایی که برای مشتق گیری ساده توابع مثلثاتی استفاده میشود، عبارتند از:
فرمول توابع معکوس مثلثاتی
محاسبه مشتق توابع معکوس مثلثاتی یکی از سوالات متداول در امتحانات ریاضی است که برای حل آنها میتوانید از فرمول زیر کمک بگیرید:
0 دیدگاه