داوطلبان کنکور به دنبال محاسبات سریع‌ ریاضی هستند تا بتوانند در کم‌ترین زمان، سخت‌ترین محاسبات را حل کنند.

ممکن است که شما به‌خاطر پیچیدگی‌ها و زمان‌بر بودن حل مسائل درس ریاضی، در کنکور نتوانید نتایج دلخواه خود را کسب کنید. ولی ریاضی نوعی بازی ذهنی است که با آموزش روش‌هایی برای محاسبات سریع‌تر می‌توانید از این درس جذاب لذت ببرید.

محاسبات سریع ریاضی چیست؟

محاسبات سریع ریاضی مجموعه‌ای از روش‌هایی است که به شما کمک می‌کند تا بدون استفاده از ماشین‌ حساب و در کمترین زمان به حل مسائل ریاضی بپردازید. این روش‌های میانبر به‌گونه‌ای طراحی شده‌اند که عملیات‌هایی مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را در کمترین زمان، ممکن می‌سازند.

این مهارت مخصوصاً در زمان کنکور که باید به سوالات در کمتر از یک دقیقه پاسخ دهید به کمک داوطلبان می‌آید و از بروز مشکلاتی مانند کمبود وقت جلوگیری می‌کند.

همچنین یکی از نکات مهمی که در بهترین روش تست زنی ریاضی کنکور باید به آن توجه کنید، یادگیری روش‌هایی برای محاسبات سریع است.

بهترین روش‌های محاسبات سریع ریاضی

سرعت در حل سوالات ریاضی کنکور، مهم‌ترین ویژگی است که در ادامه چند مورد از بهترین روش‌های محاسبات سریع ریاضی را آموزش می‌دهم.

محاسبه از چپ به راست

در این روش به‌طور مثال می‌خواهیم عملیات‌های جمع، ضرب و تفریق را با اعداد ۸۴ و ۵۳ انجام دهیم، در محاسبه‌ کاغذی معمولاً از رقم‌های پایانی (۴ و ۳) شروع می‌کنیم، ولی در ذهن، محاسبه را از رقم‌های ابتدایی (۸ و ۵) آغاز می‌کنیم.

جمع

1. ۸۴ + ۵۳ → ابتدا ۸ + ۵ = ۱۳ (برای دهگان‌ها)
2. سپس ۴ + ۳ = ۷ (برای یکان‌ها)
3. در نتیجه حاصل می‌شود ۱۳۷.

نکته: در برخی مواقع می‌توانید به‌صورت تکه‌های بزرگ‌تر عمل می‌کنید. یعنی اول ۵۰ + ۸۴ = ۱۳۴ و بعد ۱۳۴ + ۳ = ۱۳۷.

ضرب

۸۴ × ۵۳ →

1. ابتدا ۸۰ × ۵۰ = ۴,۰۰۰
2. بعد ۸۰ × ۳ = ۲۴۰
3. سپس ۴ × ۵۳ = ۲۱۲
4. جمع همه = ۴,۴۵۲

یا حتی می‌توانید جای ۸۴ و ۵۳ را عوض کنید:

1. ۴۲۰۰ = ۸۴ × ۵۰
2. ۲۵۲ = ۸۴ × ۳
3. جمع = ۴.۴۵۲

تفریق

۵۳ – ۸۴

1. ابتدا ۸ – ۵ = ۳
2. ۴ – ۳ = ۱
3. جواب: ۳۱

تقسیم (از چپ به راست)

در روش محاسبه ذهنی از چپ به راست، تقسیم به‌صورت زیر قابل انجام است:

• برای توضیح این روش، ابتدا با اعداد ۱۶۸ و ۳ شروع می‌کنیم؛ چون ۱۶۸ بر ۳ بخش‌پذیر است. ۱۶۸ ÷ ۳

1. ابتدا عدد ۱۵۰ را در نظر می‌گیریم که سریع‌تر تقسیم را انجام دهید: ۵۰ = ۳ ÷ ۱۵۰
2. سپس باقی‌مانده‌ی ۱۸ را تقسیم می‌کنیم: ۶ = ۳ ÷ ۱۸
3. بنابراین: ۵۶ = ۶ + ۵۰ = ۳ ÷ ۱۶۸

• برای ۸۴ ÷ ۵۳:

1. ابتدا بررسی می‌کنیم چند بار ۵۳ در ۸۴ جا می‌گیرد: ۵۳ × ۱ = ۵۳ پس قسمت صحیح می‌شود: ۱
2. باقی‌مانده: ۳۱ = ۵۳ – ۸۴ که جواب نهایی باید تقسیم بر ۵۳ شود.
3. بنابراین حاصل تقسیم به‌صورت کسری: ۳۱/۵۳ + ۱ = ۵۳ ÷ ۸۴

در این روش، ابتدا بخش صحیح را از چپ جدا می‌کنیم و سپس باقیمانده را به‌صورت کسر دقیق در نظر می‌گیریم. این روش کمک می‌کند تا بدون ماشین‌حساب، تخمینی بسیار دقیق به دست آوریم.

گرد کردن

در این روش وقتی قرار است عددی مثل ۴۹ را در عددی مثل ۱۷۲ ضرب کنیم به‌جای ۴۹ از ۵۰ استفاده می‌کنیم.

جمع

1. ۴۹ + ۷۷: به‌جای ۴۹، عدد ۵۰ را در نظر بگیریم: ۱۲۷ = ۷۷ + ۵۰
2. چون یک واحد اضافه کردیم، یکی کم می‌کنیم: ۱۲۶ = ۱ – ۱۲۷

ضرب

۷۷ × ۴۹

1. ۳.۵۰۰ = ۷۰ × ۵۰
2. ۳۵۰ = ۷ × ۵۰
3. جمع = ۳.۸۵۰

حالا چون به‌جای ۴۹ از ۵۰ استفاده کردیم، باید ۷۷ را کم کنیم،‌ چراکه یکبار بیشتر از واقعیت از ۷۷ استفاده کرده بودیم؛ بنابراین: ۳.۷۷۳ = ۷۷ – ۳.۸۵۰

تفریق

۷۷ – ۴۹

1. ۲۷ = ۵۰ – ۷۷
2. چون یک واحد بیشتر کم کردیم، یکی اضافه می‌کنیم: ۲۸ = ۱ + ۲۷

تقسیم

برای اینکه بهتر این روش را یاد بگیرید، اعداد را تغییر می‌دهیم.

  ۴ ÷ ۱۹۶

1. ۵۰ = ۴ ÷ ۲۰۰
2. توجه کنید که برای گرد کردن عدد ۱۹۶، ۴ واحد به آن اضافه کردیم. در این مرحله باید ۴ واحد اضافی را بر عدد ۴ ( عدد تقسیم کننده) تقسیم کنیم. ۱ = ۴ ÷ ۴
3. جواب نهایی: ۴۹ = ۱ – ۵۰

استفاده از فاکتورها برای محاسبات سریع‌تر

گاهی اوقات متوجه می‌شوید که یک عدد، حاصل‌ضرب دو عدد ساده‌تر است. به‌عنوان مثال عدد ۱۸: ۱۸ = ۶ × ۳

شناخت این فاکتورها به شما در حل سریع‌تر مسائل مخصوصاً در ضرب و تقسیم کمک می‌کند.

مثال ۱: ضرب

فرض کنید می‌خواهید حاصل‌ضرب اعداد زیر را حساب کنید:

۱۸ × ۱۶

می‌دانید که:

۶ × ۳ = ۱۸

پس می‌توانید بنویسید:

(۶ × ۳) × ۱۶

همان‌طورکه می‌دانید در عملیات ضرب می‌توانید اعداد را جابه‌جا کنید. پس برای راحت‌تر شدن به صورت زیر می‌نویسید.

۲۸۸ = ۶ × ۴۸ = ۶ × (۳ × ۱۶) = ۱۸ × ۱۶

در این روش فقط دو ضرب انجام دادید و سریع‌تر به جواب رسیدید.

مثال ۲: تقسیم

می‌خواهید حاصل عبارت زیر را بدست آورید:

۱۵ ÷ ۱۲۰

می‌دانید که:

۵ × ۳ = ۱۵

پس می‌توانید اینگونه تقسیم کنید:

1. ۴۰ = ۳ ÷ ۱۲۰
2. سپس: ۸ = ۵ ÷ ۴۰
3. یعنی: ۸ = ۱۵ ÷ ۱۲۰ ولی در دو مرحله ساده.

یک مثال دیگر: ۳۰ ÷ ۲۴۰

1. ۳۰ رو می‌توان اینگونه نوشت: ۳ × ۱۰
2. پس: ۲۴ = ۱۰ ÷ ۲۴۰ و ۸ = ۳ ÷ ۲۴
3. یعنی دوباره می‌رسیم به: ۸ = ۳۰ ÷ ۲۴۰

اینجا شما بدون اینکه نیاز به محاسبه‌ی مستقیم داشته باشید، با تجزیه‌ی عدد ۳۰، سریع‌ و ساده‌تر به جواب رسیدید.

اهمیت آشنایی با کسرهای اعشاری رایج

داشتن دانش قبلی از شکل اعشاری برخی کسرها می‌تواند سرعت و دقت محاسبات ذهنی را به‌طرز چشم‌گیری افزایش دهد.

به‌طور مثال، حفظ کردن شکل اعشاری کسرهایی که مخرج آن‌ها اعداد کوچکی مانند ۵، ۶، ۷، ۸ یا ۹ هستند، به شما در حل سریعتر مسائل مخصوصاً در کنکور کمک می‌کند. در ادامه به تحلیل این کسرها و روش‌های استفاده از آن‌ها در محاسبات می‌پردازیم:

کسرهایی با مخرج ۹

در این حالت، شکل اعشاری همه‌ی کسرها به‌صورت تکرار یک عدد است:

• ۰/۱۱۱ = ۱ ÷ ۹
• ۰/۲۲۲ = ۲ ÷ ۹
• ۰/۳۳۳ = ۳ ÷ ۹
• ۰/۶۶۶ = ۶ ÷ ۹

و باقی اعداد هم به همین شکل هستند.

کسرهایی با مخرج ۸

اگرچه این کسرها کمتر در زندگی روزمره دیده می‌شوند، اما برخی از آن‌ها کاربرد بیشتری دارند:

• ۰/۱۲۵ = ۱ ÷ ۸
• ۰/۳۷۵ = ۳ ÷ ۸
• ۰/۸۷۵ = ۷ ÷ ۸

سایر کسرهای مشابه مانند ۲ ÷ ۸ یا ۶ ÷ ۸ معمولاً به کسرهای ساده‌تری مثل  یا  تبدیل می‌شوند.

کسرهایی با مخرج ۷

این دسته از کسرها جذاب هستند زیرا شکل اعشاری آن‌ها دارای الگوی چرخشی ثابت شش ‌رقمی است:

• ۰/۱۴۲۸۵۷ = ۱ ÷ ۷
• ۰/۲۸۵۷۱۴ = ۲ ÷ ۷
• ۰/۴۲۸۵۷۱ = ۳ ÷ ۷
• ۰/۵۷۱۴۲۸ = ۴ ÷ ۷
• ۰/۷۱۴۲۸۵ = ۵ ÷ ۷
• ۰/۸۵۷۱۴۲ = ۶ ÷ ۷

همان‌طور که مشاهده می‌شود، ارقام اعشاری تکراری هستند و فقط نقطه‌ی شروع آن‌ها با هم فرق دارد.

کسرهایی با مخرج ۶

در این مورد نیز شکل اعشاری به شکل عدد تکرارشونده است:

• ۰/۱۶۶۶ = ۱ ÷ ۶
• ۰/۸۳۳۳ = ۵ ÷ ۶

کسرهایی با مخرج ۵

کسرهایی با مخرج ۵ بسیار کاربردی هستند و به راحتی می‌توان آن‌ها را با ضرب عدد در ۲ و سپس تقسیم بر ۱۰ محاسبه کرد. (صورت × ۲) ÷ ۱۰

به‌عنوان نمونه:

• ۰/۲ = ۱۰ ÷ (۲ × ۱) = ۱ ÷ ۵
• ۰/۴ = ۱۰ ÷ (۲ × ۲) = ۲ ÷ ۵
• ۰/۶ = ۱۰ ÷ (۲ × ۳) = ۳ ÷ ۵
• ۰/۸ = ۱۰ ÷ (۲ × ۴) = ۴ ÷ ۵

بیشتر بخوانید: بهترین روش تست زنی حسابان کنکور

روش تشخیص بخش‌پذیری یک عدد بر ۳

یکی از ساده‌ترین روش‌ها برای تشخیص اینکه آیا عددی بر ۳ بخش‌پذیر است یا نه، استفاده از مجموع ارقام آن عدد است. در این روش، اگر مجموع رقم‌های یک عدد بر ۳ بخش‌پذیر باشد، خود عدد نیز بر ۳ بخش‌پذیر است.

• مثال ۱: عدد ‎۸۱۷۲۷۳

جمع ارقام: ۸ + ۱ + ۷ + ۲ + ۷ + ۳ = ۲۸ 

عدد ۲۸ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، پس ‎۸۱۷۲۷۳ نیز بر ۳ بخش‌پذیر نیست.

• مثال ۲: عدد ‎۸۱۷۲۷۲

جمع ارقام: ۸ + ۱ + ۷ + ۲ + ۷ + ۲ = ۲۷ 

عدد ۲۷ بر ۳ بخش‌پذیر است، بنابراین ‎۸۱۷۲۷۲ نیز بر ۳ بخش‌پذیر است. 

(در واقع: ۸۱۷۲۷۲ = ۳ × ۲۷۲۴۲۴)

روش سریع‌تر:

برای صرفه‌جویی در زمان می‌توانید برخی رقم‌ها را حذف کنید:

1. رقم‌هایی که خودشان مضرب ۳ هستند (مثل ۳، ۶، ۹) را حذف کنید.
2. جفت‌هایی که مجموع‌شان مضرب ۳ است را حذف کنید.
3. سپس فقط ارقام باقیمانده را جمع بزنید و همان قانون قبلی را اعمال کنید.

• مثال ۳: عدد ‎۶۸۱۷۲۷۳

1. ۶ (مضرب ۳ است) ← حذف می‌شود.
2. ۸ و ۱ (۸+۱=۹) ← حذف می‌شوند.
3. ۷ و ۲ (۷+۲=۹) ← حذف می‌شوند.
4. ۳ (خودش مضرب ۳ است) ← حذف می‌شود.
5. تنها رقم باقی‌مانده: ۷ ← چون ۷ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، کل عدد نیز بخش‌پذیر نیست.

نکات مهم در محاسابات سریع ریاضی

اکنون که برخی از روش‌های محاسبات سریع آشنا شدید، نکاتی در این خصوص وجود دارد که باید آن‌ها را رعایت کنید:

1. اعداد مرجع یا معیارها، ابزارهای بسیار مفیدی هستند که به شما کمک می‌کنند تا با ذهن، مقدارها را سریع‌تر تخمین بزنید.‌ برخی از این مقادیر عبارتند از:

• یک‌چهارم = ۲۵%
• یک‌سوم ≈ ۳۳%
• نصف = ۵۰%
• دو‌سوم ≈ ۶۷%
• سه‌چهارم = ۷۵%

2. شناخت مربع‌ها و توان‌های عددی (مثل ۲^۲ تا ۲۰^۲) به افزایش سرعت در محاسبات کمک می‌کند.
3. اعداد بزرگ را به اعداد کوچک‌تر تقسیم کنید تا انجام عملیات مانند ضرب یا تقسیم راحت‌تر شود.
4. انجام عملیات جمع و تفریق نسبت به ضرب و تقسیم به‌طور معمول زمان کمتری می‌برد و باید به‌عنوان گام‌های اول در حل مسائل انتخاب شوند. اما توجه داشته باشید که برای انجام محسباتی که ۴ عمل اصلی را دارد، ضرب و تقسیم در الویت هستند.
5. بدون تمرین مداوم، یادگیری این مهارت‌ها امکان‌پذیر نیست. پیشنهاد می‌کنم که با برنامه‌ریزی و روش مطالعه ریاضی کنکور اصولی، به‌طور روزانه به حل مساله با کمک روش‌‌های محاسبات سریع ریاضی بپردازید تا ملکه ذهن‌تان شود.