از آنجا که همه توابع را نمی‌توان با یک روش ثابت انتگرال‌گیری کرد، آشنایی با انواع روش انتگرال گیری اهمیت ویژه‌ای پیدا می‌کند. هر روش برای نوع خاصی از توابع است که انتخاب درست آن، مسیر حل مسئله را کوتاه‌تر می‌کند.

یکی از مفاهیم مهم در ریاضیات، انتگرال‌گیری است که نقش مهمی در درک رفتار توابع و حل مسائل علمی دارد. این مبحث علاوه‌بر ریاضی در دروس دیگری مانند فیزیک، مهندسی، اقتصاد و حتی علوم داده به‌کار می‌رود.

انتگرال چیست؟

انتگرال در واقع عکس مشتق‌گیری است و با توجه به تابعی که از آن انتگرال می‌گیریم، معنا و کاربرد متفاوتی دارد.

به بیان ساده‌تر، انتگرال روشی برای تبدیل اطلاعات جزئی و کوچک به یک نتیجه کلی و عددی است. به کمک آن می‌توانید مساحت زیر نمودار، حجم یا مقدار تغییر یک کمیت در یک بازه را محاسبه کنید.

فرمول‌های انتگرال گیری

در جدول زیر مهم‌ترین فرمول‌های انتگرال گیری بیان شده است:

انواع روش‌های انتگرال گیری

آموزش انتگرال گیری یکی از مباحث مهم برای دانش ‌آموزان رشته‌های تجربی و ریاضی است که نیاز به زمان و دقت دارد. در ادامه با روش‌های محاسبه انتگرال بیشتر آشنا خواهید شد.

 انتگرال گیری تغییر متغیر

یکی از روش‌های مهم انتگرال ‌گیری تغییر متغیر است. در این روش برای پیدا کردن جواب تابع (x²) 2xcos باید به روش زیر عمل کنید:

در ابتدا x² را برابر با u و تابع cos را w درنظر‌ می‌گیریم و به شکل زیر‌ در فرمول نشان می‌دهیم.

برای محاسبه انتگرال توابعی مشابه این مثال، ابتدا بخشی از عبارت را به‌عنوان متغیر جدید (u) انتخاب می‌کنیم و سپس کل تابع داخل انتگرال را بر حسب (u) بازنویسی می‌کنیم.

به عنوان نمونه، در انتگرال (x²) 2xcos می‌توان (x²) را برابر با (u) در نظر گرفت. در این حالت، (x²,dx) به (du) تبدیل می‌شود.

در قدم بعد، رابطه بین (dx) و (du) را مطابق قوانین دیفرانسیل نوشته و از آن برای جایگزینی استفاده می‌کنیم.

اگر تابع را برحسب u بنویسم، به شکل زیر خواهد بود:

باتوجه به آنکه نتیجه تابع cos u با sin u برابر می‌شود،‌ می‌توان این مورد را به‌صورت زیر بیان کرد:

برای بررسی درستی از تابعsin x² مشتق بگیرید و ببینید که نتیجه باید 2x cos x² شود.

بیشتر بخوانید: آموزش محاسبات سریع ریاضی

روش جز به جز

این روش به شما کمک می‌کند تا بتوانید انتگرال حاصل از ضرب دو یا چند تابع مختلف را محاسبه کنید. فرمول روش انتگرال‌گیری جز به جز به صورت زیر است:

همچنین با توجه به تغییر متغیرها، فرمول نهایی انتگرال‌گیری جز به جز به شکل زیر خواهد بود:

در ادامه آموزش انتگرال‌ گیری جز به جز، یک مثال ساده برایتان آماده کرده‌ام.

روش انتگرال گیری تفکیک کسر

در محاسبه انتگرال به روش تفکیک کسر به‌راحتی می‌توانید یک کسر را به کسرهای ساده‌تر تبدیل کنید تا محاسبه ساده‌تر شود‌.

در ادامه مرحله به مرحله آموزش انتگرال به روش تفکیک کسر را مشاهده کنید.

روش انتگرال چند جمله‌ای

ساده‌تر‌ نوع انتگرال گیری، روش چند جمله‌ای است که حل راحتی دارد. در این روش کافی است به توان عبارت یک واحد اضافه کنید و سپس کل تابع را بر همین عدد تقسیم کنید. در تصویر زیر یک مثال ساده برای این روش نشان داده شده است.

روش انتگرال مثلثاتی

برای محاسبه انتگرال مثلثاتی برای حل توابع مثلثاتی به‌کار می‌رود. برای آشنایی بیشتر با این روش می‌توانید از مثال کاربردی زیر از سایت ایران مدرس کمک بگیرید: